Vorhersage von Spannungs-, Dehnungs- und Verformungsfeldern in Materialien und Strukturen mit graphischen neuronalen Netzen

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 21834 (2022) Diesen Artikel zitieren

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Die Entwicklung präziser und dennoch schneller Rechenwerkzeuge zur Simulation komplexer physikalischer Phänomene ist ein seit langem bestehendes Problem. Jüngste Fortschritte im maschinellen Lernen haben die Art und Weise, wie Simulationen angegangen werden, revolutioniert und von einem rein physikalischen zu einem KI-basierten Paradigma übergegangen. Obwohl beeindruckende Erfolge erzielt wurden, bleibt die effiziente Vorhersage komplexer physikalischer Phänomene in Materialien und Strukturen eine Herausforderung. Hier stellen wir ein KI-basiertes allgemeines Framework vor, das durch graphische neuronale Netze implementiert wird und in der Lage ist, komplexes mechanisches Verhalten von Materialien aus einigen Hundert Daten zu lernen. Unser Deep-Learning-Modell nutzt die natürliche Mesh-to-Graph-Abbildung und sagt Verformungs-, Spannungs- und Dehnungsfelder in verschiedenen Materialsystemen wie Faser- und Schichtverbundwerkstoffen sowie Gittermetamaterialien voraus. Das Modell kann komplexe nichtlineare Phänomene erfassen, von Plastizität bis hin zu Knickinstabilität, und scheinbar physikalische Beziehungen zwischen den vorhergesagten physikalischen Feldern lernen. Aufgrund seiner Flexibilität zielt dieses graphbasierte Framework darauf ab, die Mikrostruktur von Materialien, die Eigenschaften von Grundmaterialien und Randbedingungen mit einer physikalischen Reaktion zu verknüpfen und so neue Wege für die graph-KI-basierte Ersatzmodellierung zu eröffnen.

Bei dem ständig wachsenden Versuch, leistungsstarke mechanische Materialien und Strukturen zu entdecken und zu entwerfen, sind Verformung, Spannungs- und Dehnungsverteilungen die wesentlichen Informationen, aus denen jede andere mechanische Eigenschaft oder Funktion abgeleitet werden kann. Mit der jüngsten Explosion additiver Fertigungstechnologien entstehen morphologisch und physikalisch anspruchsvolle Materialien und Strukturen mit überlegenen mechanischen Eigenschaften und Funktionen, wie z. B. hierarchische Verbundstoffe1,2,3, geometrisch ineinandergreifende Strukturen4,5,6 und architektonische Metamaterialien7,8,9,10, können jetzt problemlos hergestellt werden. Aufgrund ihrer geometrischen Komplexität11 und der komplizierten Anordnung konstitutiver Materialien mit unterschiedlichen mechanischen Eigenschaften12 wird die Vorhersage der physikalischen Reaktion solcher Materialsysteme mit herkömmlichen Methoden wie analytischen Modellen und numerischen Simulationen leicht schwierig, insbesondere bei der schnellen und dennoch genauen Durchmusterung astronomisch großer Systeme Für die Materialentdeckung und das Materialdesign müssen Datensätze erstellt werden13. Darüber hinaus erfordern selbst herkömmlich herstellbare Materialien und Strukturen mit stark nichtlinearen Eigenschaften wie Hyperelastizität, Plastizität und Instabilität nach dem Knicken rechenintensive Simulationen, was die Materialforschung und -entdeckung einschränkt14,15. Allgemeiner gesagt ist die Vorhersage von Verformungs- und Spannungsfeldern von Material- und Struktursystemen eine wiederkehrende Aufgabe in der Materialwissenschaft und -technik, und die Suche nach einem schnellen und dennoch genauen Ansatz dafür ist ein offenes, herausforderndes Problem. Motiviert durch die Grenzen analytischer Modelle zur effizienten Vorhersage des physikalischen Verhaltens fester Materialien und Strukturen stellen physikbasierte Computersimulationen, insbesondere Finite-Elemente-Modelle (FE-Modelle), bisher den Schlüsselfaktor für die Lösung komplexer physikalischer Anfangs- und Randwertprobleme dar. oft mit stark nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen16. Das Aufkommen und Wachstum des Bereichs des maschinellen Lernens (ML) in den letzten Jahren hat jedoch gezeigt, dass die Möglichkeit besteht, traditionelle numerische Löser zu übertreffen und Simulationen physikalischer Systeme17,18,19,20,21,22 durch den Einsatz physikalischer Methoden erheblich zu beschleunigen. informierte neuronale Netze zur Extraktion von Geschwindigkeits- und Druckfeldern aus der Strömungsvisualisierung23 bis hin zum inversen Design architektonischer Materialien mit extrem elastischen Eigenschaften unter Verwendung generativer kontradiktorischer Netze24. Angesichts der Bedeutung der Entdeckung und Gestaltung von Materialien sind die Verknüpfung der Mikro- und Mesostruktur von Materialien mit mechanischen Eigenschaften (Struktur-zu-Eigenschaft)25,26,27,28,29,30 und das umgekehrte Design (d. h. gegebene Zieleigenschaften) optimale Designs finden) leistungsstarke architektonische Metamaterialien10,13,24,31,32,33,34,35,36,37,38,39 haben in letzter Zeit die Forschungsszene dominiert. In beiden Fällen wird die Materialleistung aufgrund des Einflusses der Geometrie, des Verhaltens des Grundmaterials und der Randbedingungen im Wesentlichen durch lokale mechanische Felder wie Spannungs- und Dehnungsverteilungen bestimmt. Unter Ausnutzung der Vorteile pixelbasierter neuronaler Faltungsnetze wurden mechanische Felder hauptsächlich an „digitalen“ (dh in Form von Gittern diskretisierten) materiellen und strukturellen Systemen untersucht40,41,42,43,44,45,46, wie in47 wo Spannungs- und Dehnungsfelder auf digitalen hierarchischen Verbundwerkstoffen vorhergesagt wurden, oder in48 wo heterogene Materialmikrostrukturen als Bilder betrachtet wurden. Eine der beliebtesten und am häufigsten verwendeten numerischen Methoden, wie die FE-Modellierung, verwendet Netzdarstellungen anstelle von regulären Gitterdarstellungen, um die zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen zu lösen. Mit der intuitiven Erweiterung von Mesh-Informationen auf die Graphendarstellung erben Graph Neural Networks (GNNs)49 alle Vorteile der Verwendung von Mesh-Domänen. Darüber hinaus fehlt immer noch ein effizienter ML-Allgemeinrahmen, der nicht nur die Mikrostruktur eines Materials, sondern auch die Eigenschaften der konstitutiven Materialien (z. B. in einem Verbundmaterial) und Randbedingungen mit der physikalischen Reaktion verknüpfen kann.

Inspiriert durch die jüngsten Entwicklungen zu GNNs zur Vorhersage physikalischer Felder50,51,52 schlagen wir eine allgemeine Methode vor, die auf vernetzten Geometrien basiert, um Spannungs-, Dehnungs- und Verformungsfelder in Material- und Struktursystemen vorherzusagen. Die Vorteile der Verwendung tiefer GNNs anstelle von bildbasierten Modellen (z. B. Faltungs-Neuronalen Netzen) sind möglicherweise die folgenden: (i) verfeinertes Netz in der Nähe von Spannungs-/Dehnungskonzentratoren, wie Kerben (d. h. Defekten) und Materialdiskontinuitäten, und gekrümmtes, glattes Netz Oberflächen ermöglichen genauere lokale Vorhersagen bei geringerem Anstieg der Rechenkosten; (ii) unstrukturierte netzbasierte Modelle ermöglichen das Erlernen des Systemverhaltens unabhängig von der Auflösung, was bedeutet, dass zur Laufzeit unterschiedliche Netzgrößen verwendet werden können; (iii) Aufgrund ihrer Graphennatur können architektonische Fachwerkmetamaterialien effizienter durch GNNs dargestellt werden.

Hier schlagen wir unter Nutzung der Mesh-to-Graph-Zuordnung eine graphbasierte allgemeine ML-Methode vor, um deformierte Formen, Spannungs- und Dehnungsfelder in Material- und Struktursystemen vorherzusagen. Um die Flexibilität und Allgemeingültigkeit des vorgeschlagenen Ansatzes zu demonstrieren, konzentrieren wir uns auf drei verschiedene Materialsysteme, die unterschiedlichen komplexen mechanischen Phänomenen unterliegen, nämlich der Plastizität von Einzelfaserverbundwerkstoffen, der Faltenbildung an Schichtschnittstellen und der Knickinstabilität von Gittermetamaterialien. Wir zeigen, dass GNNs Belastungsbedingungen lernen können, die mit deformierter Form und Spannungsfeld in Zusammenhang stehen, sowie physikalische Beziehungen zwischen der Materialstruktur und der Spannung (Dehnung) und dem Verformungsfeld. Während bildbasierte ML-Modelle wie Faltungs-Neuronale Netze, Variations-Autoencoder und generative kontradiktorische Netze weit verbreitet sind, um physikalische Felder in hierarchischen Verbundwerkstoffen53, perforierten Strukturen54, additiv gefertigten Mikrostrukturen mit Defekten45 und heterogenen Mikrostrukturen42,48 vorherzusagen, ist die aktuelle Arbeit präsentiert ein flexibleres und allgemeineres ML-Framework für die Vorhersage deformierter Formen, Spannungs- und Dehnungsfelder mit GNNs.

Schematische Darstellung des vorgeschlagenen ML-Modells. Das vernetzte Material oder Struktursystem wird zunächst auf einem Diagramm abgebildet. Hier werden drei Beispiele unterschiedlicher Komplexität gezeigt. Knoten- und Kantenmerkmale werden über der Diagrammstruktur definiert und enthalten Informationen über das System, wie z. B. Knotenpositionen, Knotentyp (z. B. Grundmaterialphase) oder Verschiebungen an bestimmten Knoten. Diese Merkmale werden zunächst in einen größeren latenten Raum kodiert. Anschließend verarbeitet ein Nachrichtenübermittlungsmodul die Diagrammmerkmale: Jeder Knoten erfasst Informationen von seinen Nachbarknoten und lernt so Beziehungen zwischen verschiedenen Teilen des Systems. Die transformierten Knotengrößen werden schließlich in physikalische Ausgabefelder dekodiert, hier Verformungs-, Spannungs- und Dehnungsfelder (\(u_i\), \(\sigma _i\),\(\varepsilon _i\)). Bereitstellung geometrischer/topologischer Informationen (\({\textbf{g}}\)), des Verhaltens von Grundmaterialien (\({\textbf{m}}\)) und Randbedingungen (\(\mathbf {\text {BC }}\)) lernt das Modell physikalische Zusammenhänge mit den betrachteten Feldern. Nach dem Training kann das ML-Modell physikalische Felder verschiedener Material- und Struktursysteme, die komplexen physikalischen Phänomenen wie Faltenbildung oder Knickung unterliegen, genau vorhersagen.

Bei der FE-Modellierung verwendete Netzdomänen sind Sammlungen verbundener geometrischer Elemente (z. B. Linien, Dreiecke, Vierecke, Tetraeder), die Volumenkörper, Flächen oder Linien definieren. Das Randwertproblem wird oft durch die interessierenden physikalischen Größen (wie Verschiebung und Spannung) an bestimmten Stellen auf der Grenze der Elemente definiert, nämlich Knoten (die normalerweise mit Eckpunkten zusammenfallen). Wenn man davon ausgeht, dass das Netz nur aus Knoten besteht, die durch Kanten verbunden sind, identifizieren wir Netzdomänen mit Rechengraphen \(G=(V,E)\), wobei V eine Menge von N Knoten darstellt, die über M Kanten (E) miteinander verbunden sind. Der i-te Knoten (in V) bringt n Merkmale im Vektor \(v_i\) (wie Knotenkoordinaten und Basismaterialeigenschaften); In ähnlicher Weise hat die Kante (in E), die den i-ten und j-ten Knoten verbindet, einen m-dimensionalen Merkmalsvektor \(e_{ij}\) (z. B. den Abstand zwischen Knoten). Wie in Abb. 1 dargestellt, befasst sich unser Modell mit dem Problem der Vorhersage von Verschiebungs- (\(u_i\)), Spannungs- (\(\sigma _i\)) und Dehnungsfeldern (\(\varepsilon _i\)) (im Diagramm). Knoten) in Material- und Struktursystemen, wie repräsentativen Volumenelementen (RVEs) und Gitterstrukturen endlicher Größe. Angesichts der Flexibilität der Diagrammdarstellung können alle Faktoren berücksichtigt werden, die die mechanische Reaktion des Materials bestimmen, d. h. Geometrie/Topologie (\({\textbf{g}}\)), Verhalten des Grundmaterials (\({\textbf{m}} \)) und Randbedingungen (\(\mathbf {\text {BC }}\)) können in die Knoten- und Kantenmerkmale sowie die Diagrammkonnektivität codiert werden (wie als nächstes für drei Materialsysteme gezeigt).

GNNs sind eine Klasse tiefer neuronaler Netze, die direkt mit Diagrammdaten (d. h. nichteuklidischen Daten) und nicht mit vektorisierten Daten oder Bilddaten arbeiten55. In unserer Arbeit entwickeln wir ein Encoder-Decoder-ML-Modell, um die Beziehung (f in Abb. 1) zwischen Material- und Struktureigenschaften und -bedingungen sowie physikalischen Feldern (Verschiebung, Spannung und Dehnung) anzunähern. Unser Modell besteht aus drei Komponenten: dem Encoder, dem Message Passing und dem Decoder (Abb. 1). Aus der grafischen Darstellung des Materialsystems kodiert der Encoder die Knoten- und Kantenmerkmale in einen latenten Raum (mit der größeren Dimension d), wobei er jeweils die neuronalen Netze \(\epsilon ^N\) und \(\epsilon ^E\) verwendet Knoten bzw. Kante. Diese codierten Merkmale werden vom Message Passing-Modul verarbeitet, das zunächst Informationen aus der Umgebung jedes Knotens aggregiert (über das neuronale Netzwerk \(M^E\)) und dann den Knotenstatus mithilfe des neuronalen Netzwerks \(U^N) aktualisiert \); Diese beiden Vorgänge stellen einen Nachrichtendurchlauf dar. Nachdem L Nachrichten durchlaufen wurden, werden die latenten Knotenmerkmale vom neuronalen Netzwerk \(\delta ^N\) (dh dem Decoder) in die Feldausgaben umgewandelt. Das Modell wird durch Überwachung physikalischer Knotengrößen (d. h. \(u_i\), \(\sigma _i\), \(\varepsilon _i\)) trainiert, die durch FE-Simulationen (Ground Truth) ermittelt wurden. Insgesamt verwendet das GNN-Modell einen Graphen, der das Materialsystem darstellt, als Eingabe und gibt physikalische Felder aus. Als Maß zur Bewertung der Modellleistung verwenden wir die Fehlerkarte, definiert als die Knotendifferenz zwischen der Grundwahrheit und den Vorhersagen, und den mittleren absoluten Fehler, MAE. Um die Fähigkeit des Modells zur Vorhersage abgeleiteter Materialeigenschaften zu messen, verwenden wir außerdem den mittleren relativen Fehler für die konstitutive Spannungs-Dehnungs-Reaktion des gesamten RVE (wenn die Spannungsfeldentwicklung untersucht wird). Weitere Einzelheiten finden Sie unter „Methoden“ und „Ergänzende Materialien“.

Unser trainiertes ML-Modell kann komplexe mechanische Phänomene vorhersagen, wie z. B. die Faltenbildung dünner Grenzflächenschichten und die Knickinstabilität von Gittermaterialien, indem es die Geometrie/Topologie, die Grundmaterialeigenschaften und die Belastungsbedingungen mit den Verformungs-, Spannungs- und Dehnungsfeldern verknüpft. Durch das Erlernen der physikalischen Beziehungen zwischen Verformungs- und Spannungsfeldern (oder Dehnungsfeldern) aus Daten prognostiziert das Modell ein realistisches globales mechanisches Verhalten, selbst wenn die Eingabeinformationen nicht ausreichen, um das tatsächliche lokale Phänomen zu erfassen (z. B. werden die Eigenmoden nicht als Eingabe für die Nachbearbeitung bereitgestellt). Knickvorhersagen). Beim Versuch, die globale MAE zu minimieren, lässt sich das durchschnittliche Verhalten tatsächlich leichter vom Modell erfassen, wenn keine Daten zu dem betrachteten physikalischen Phänomen vorliegen (der nächste Beweis wird bereitgestellt). Um die Fähigkeit tiefer GNNs zu demonstrieren, die Physik komplexer mechanischer Phänomene in verschiedenen Material- und Strukturklassen zu lernen und vorherzusagen, berichten wir in den folgenden Abschnitten über drei verschiedene Probleme, die von unserem ML-Modell gelöst werden, in der Reihenfolge zunehmender Komplexität.

Hier konzentrieren wir uns auf herkömmliche unidirektionale Faserverbundwerkstoffe, die einer einachsigen Zugbelastung ausgesetzt sind. Zur Vereinfachung der Vermittlung der Schlüsselideen unserer Methode wird eine gitterartige periodische Faserverteilung durch Analyse eines Einzelfaser-RVE (der die Mikrostruktur darstellt) berücksichtigt, wie in Abb. 2A, B dargestellt. Die Materialmikrostruktur besteht aus zwei Bestandteilen: der harten Phase (d. h. Fasern) und der weichen Phase (d. h. Matrix). Die Faser weist eine lineare Elastizität auf, während die Matrix ein elastoplastisches Verhalten (J2-Plastizität) aufweist. Um kontrastreiche Materialdiskontinuitäten zu simulieren, ist die harte Phase im Hinblick auf den Elastizitätsmodul zehnmal steifer als die weiche Phase (siehe Methoden). Der Volumenanteil der Faser, \(f_v\), charakterisiert die Geometrie der Mikrostruktur vollständig und wird als einziger unabhängiger geometrischer Parameter g verwendet; Für jeden Wert von \(f_v\) ist ihm ein eindeutiger Faserradius zugeordnet (Abb. 2A zeigt verschiedene Mikrostrukturen). Durch lineares Abtasten von \(f_v\) im Bereich von 0,05–0,5 wird ein Datensatz von 500 Mikrostrukturen generiert und dann in 90 \(\%\) Trainingsdaten und 10 \(\%\) Testdaten aufgeteilt (Sensitivitätsanalyse mit Trainingsdatendichte (siehe Abb. S12). Durch das Auferlegen periodischer Randbedingungen (PBCs) auf die Grenzen jedes RVE (siehe Methoden) werden die Verschiebung \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) und die Spannung \(\sigma _i= (\sigma _i^{ 11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) aus FE-Simulationen erhaltene Felder gelten als Grundwahrheit für die Ausgabe des ML-Modells. Die eingegebenen geometrischen Informationen g der Mikrostruktur des Modells werden in die Graphentopologie (über die Knotenkonnektivität) und die Knoten- und Kantenmerkmale codiert. Insbesondere werden unverformte Knotenkoordinaten \(x_i\) und Knotentyp \(\xi _i\) (entspricht 0 für Matrix, 1 für Faser) in die Knotenmerkmale \(v_i\) codiert. Der relative Abstand zwischen dem i-ten und j-ten Knoten \(x_{ij}=x_i-x_j\) in der undeformierten Konfiguration und sein Absolutwert \(|x_{ij}|\) werden in die Kantenmerkmale \ codiert. (e_{ij}\).

Ein typisches RVE mit der entsprechenden makroskopischen Spannungs-Dehnungs-Kurve aus dem Testdatensatz ist in Abb. 2B dargestellt. Um die Fähigkeit des ML-Modells zu demonstrieren, das kleine und endliche Verformungs- und Spannungsfeld in Faserverbundwerkstoffen zu erfassen, berichten wir in Abb. 2C-D über den Vergleich zwischen den FE-Simulationen (Ground Truth) und Modellvorhersagen für zwei makroskopisch angelegte Dehnungswerte, \( {\overline{\varepsilon }}\)= 1 und 6 \(\%\) (Modell separat trainiert). Aus den Testdaten (dh 50 Mikrostrukturen) für den elastischen bzw. plastischen Bereich wird ein durchschnittlicher MAE von \(\sim\) 0,02 bzw. 0,04 erhalten. Die Verformung der Mikrostruktur wird von unserem ML-Modell genau vorhergesagt, wie in Abb. 2C für den plastischen Bereich dargestellt. Analog ähneln die in Abb. 2D dargestellten ML-vorhergesagten Spannungskomponentenverteilungen \(\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33}\), die in Abb. 2D dargestellt sind, stark den numerischen Simulationen für beide Dehnungsregime. Die Genauigkeit der Vorhersagen wird außerdem durch die Fehlerkarte bestätigt, die zusätzlich die kleinen lokalen Bereiche mit größeren Fehlern identifiziert (meist nahe der Faser-Matrix-Grenze mit hohem Spannungs- und Dehnungsgradienten, wie in48), was zu einem Genauigkeitsabfall beiträgt. Bemerkenswert ist, dass unsere Vorhersagen auch komplexe Spannungsmuster wie die Schubspannung \(\sigma_{12}\) mit geringer Amplitude (im Vergleich zur Hauptkomponente \(\sigma_{11}\)) erfassen. wie in Abb. S2 gezeigt. Verformungs- und Spannungsfeldvergleiche für andere RVEs im Testdatensatz sind in Abb. S3 und S4 dargestellt. Während häufig äquivalente Spannungsverteilungen, wie z. B. die von Mises-Spannung, als einzelne Ausgabe übernommen werden,45,48 lernt unser Modell nicht nur das gesamte Spannungstensorfeld (dh mehrere Komponenten), sondern auch die entsprechende deformierte Form (Abb. 2C). Durch das Erlernen der Mechanik von Mikrostrukturen mit unterschiedlichen Faserradien (also Volumenanteilen) kann das vorgeschlagene Modell somit die kleine und endliche Verformung und das Spannungsfeld sowohl in verdünnten als auch in dichten faserverstärkten Verbundwerkstoffen genau vorhersagen.

Vorhersage von Elastizität und Plastizität in querbelasteten unidirektionalen Faserverbundwerkstoffen. (A) Beispiele für RVEs aus dem Datensatz mit unterschiedlichem Faservolumenanteil. (B) Ein typischer RVE (\(f_v\)=37,55 \(\%\)), der einer makroskopischen einachsigen Spannungsdehnung (\({\overline{\varepsilon }}\)) unterliegt, zusammen mit der entsprechenden makroskopischen Spannungs-Dehnungs-Kurve . Die Symbole im Diagramm geben kleine (\({\overline{\varepsilon }}\)=1 \(\%\)) und große (\({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\% \)) Verformungen, die der linearen Elastizität bzw. Plastizität entsprechen. (C) Vergleich des FE-simulierten (d. h. Ground Truth) und des ML-vorhergesagten deformierten Netzes für \({\overline{\varepsilon }}\)=6 \(\%\). (D) Vergleich der ML-vorhergesagten und FE-simulierten Spannungsfelder im in (B) gezeigten RVE, zufällig ausgewählt aus dem Testdatensatz, für kleine und große Verformungen, mit der entsprechenden Fehlerkarte (d. h. Differenz zwischen Vorhersage und Grundwahrheit) . Die Spannungsfelder werden über den entsprechenden verformten Formen aufgetragen (exakter relativer Maßstab zwischen kleinen und großen Verformungen), während die Fehlerkarten in der unverformten Konfiguration angezeigt werden. Analoge Ergebnisse für das Scherspannungsfeld (\(\sigma _{12}\)) werden in den Zusatzmaterialien berichtet.

In den früheren Ergebnissen zu Faserverbund-Mikrostrukturen wurde das ML-Modell separat für verschiedene Ebenen der makroskopischen Belastung trainiert. Hier untersuchen wir, ob unser Modell gleichzeitig mehrere Belastungsschritte in unterschiedlichen Größenordnungen lernen kann, dh die Entwicklung von Verformung und Spannungsfeld. Um die Fähigkeit des Modells zur Vorhersage großer lokaler Verformungen zu demonstrieren, betrachten wir zunächst denselben vorherigen Datensatz, jedoch vorbehaltlich Verschiebungsrandbedingungen (anstelle von PBCs). Auf diese Weise wird die Graphstruktur des Netzes genutzt, um das ML-Modell über die Randbedingungen zu informieren, ein Vektor, \(u_i^{\mathbf {\text {BC }}}=(u_i^{(1,\mathbf { \text {BC }})},0)\), das die angewendete Verschiebung auf dem i-ten Knoten darstellt, wird als zusätzliches Knotenmerkmal eingeführt (dh \(\mathbf {\text {BC }}\) in Abb. 1 ). Um den Rechenaufwand für die Generierung von Trainingsdaten und das Modelltraining weiter zu reduzieren, werden hier ein gröberes Netz und eine lineare Elastizität verwendet und nur 100 Gesamtdaten berücksichtigt. Ohne die Plastizitätshypothese sind die makroskopischen Spannungs-Dehnungs-Reaktionen linear (weniger komplex); Dies reduziert somit die Menge der erforderlichen Trainingsdaten. Fünf Belastungsschritte werden linear im Bereich von 1–8 \(\%\) der effektiven angelegten Dehnung (Verhältnis zwischen der angelegten Verschiebung und der RVE'-Größe) für jede Mikrostruktur abgetastet, wobei die zeitliche Variable (d. h. Belastungsschritte) als a behandelt wird Parametrisierung der Datenverteilung, dh einer Folge von Diagrammen. Um den Ansatz allgemeiner zu gestalten (für zukünftige Anwendungen bei pfadabhängigen Problemen), fügen wir außerdem zwei wiederkehrende Schichten nach dem Nachrichtenübermittlungsmodul ein und interpretieren die latenten Knotenmerkmale als verborgene Zustände (Methoden), die schließlich von in Ausgabefelder umgewandelt werden des Decoders (Abb. 1). Aus den Testdaten wird ein durchschnittlicher MAE von \(\sim\) 0,07 erhalten (Durchschnitt über alle Mikrostrukturen und Stufen) und es wird eine bemerkenswerte Ähnlichkeit zwischen den ML-Vorhersagen und FE-Simulationen erreicht, wie in Abb. S5 und Film S1 gezeigt. Die großen transversalen (zur Belastungsrichtung) Verformungen der Mikrostruktur werden von unserem Modell erfasst, was bestätigt, dass GNNs glatte Oberflächenverformungen mit einer Genauigkeit vorhersagen können, die nahe an der von FE-Lösern mit hoher Wiedergabetreue liegt.

Um darüber hinaus die Fähigkeit des Modells zu testen, physikalische Reaktionen auf unsichtbare angelegte Belastungen vorherzusagen, werden fünf zusätzliche Belastungsstufen im Bereich der angewandten Belastung (1–8 %) mit insgesamt zehn Belastungsniveaus abgetastet. Das nur auf fünf Schritte trainierte Modell wird gegen alle zehn Stämme getestet. Das Ergebnis wird in Film S2 gezeigt, wo die Spannungskomponente \(\sigma_{11}\) angezeigt wird; Es ergibt sich wie zuvor ein durchschnittlicher MAE von \(\sim\) 0,07. Analoge Ergebnisse, die der Kürze halber hier nicht gezeigt werden, werden erhalten, indem der Dehnungsbereich mit einer beliebigen Anzahl von Belastungsschritten abgetastet wird (wir haben bis zu 25 getestet) und das Modell nur an einigen wenigen davon trainiert wird. Das Modell kann somit die ausgewählten physikalischen Felder bei verschiedenen Belastungsschritten aus den fünf Trainingsschritten (über den gesamten angelegten Dehnungsbereich hinweg) genau vorhersagen. Dieser Ansatz kann hilfreich sein, um die Menge der erforderlichen Trainingsdaten für die Vorhersage der Feldentwicklung zu reduzieren. Durch das Training des Modells in einigen Zeitschritten wäre es tatsächlich in der Lage, die Feldentwicklung auch für dazwischen liegende unsichtbare Belastungsniveaus vorherzusagen.

Um weiter zu zeigen, dass unser Modell abgeleitete Materialeigenschaften aus komplexeren Spannungsfeldern genau vorhersagen kann, wird hier für die Matrix des Verbundwerkstoffs zusammen mit PBCs eine lineare Verhärtungsplastizität eingeführt (weitere Einzelheiten unter Methoden). Letztere werden als zusätzliche Knotenmerkmale dargestellt, wobei \(\varepsilon _i^{\mathbf {\text {BC }}}\) die angewendete makroskopische Dehnungskomponente ist (BC in Abb. 1). Das Modell wird auf zehn Belastungsstufen trainiert und auf 25 Belastungsniveaus im gleichen Bereich (0–8 %) getestet. In Abb. 3 sind die vorhergesagten und simulierten Spannungs-Dehnungs-Reaktionen von zwei RVEs mit unterschiedlichen Faservolumenanteilen sowie die mittleren relativen Fehlerverteilungen im Testdatensatz für die beiden makroskopischen Spannungskomponenten ungleich Null (Durchschnitt über die RVE) dargestellt. Obwohl höhere durchschnittliche MAE-Werte (\(\sim\) 0,10) für die physikalischen Felder erhalten werden, sind die makroskopischen Vorhersagen praktisch nicht von den simulierten Antworten zu unterscheiden und weisen maximale relative Fehler unter 3,5 und 7,5 % für die Komponenten \(\sigma _{ 11}\) und \(\sigma_{33}\) bzw. (Abb. 3). Darüber hinaus stimmen die vorhergesagten makroskopischen Spannungen ohne Eingabe der Informationen über die einachsige Spannung mit einfacher Dehnung in das GNN-Modell mit einer solchen angewandten Bedingung überein. Dementsprechend sagt das Modell voraus, dass die Spannungskomponenten \(\sigma _{22}\) und \(\sigma _{12}\) Null sind, mit einer Streuung unter 1 % des Spitzenwerts der dominanten Komponente \(\ Sigma _{11}\).

Insgesamt scheint die Leistung unserer GNN-Modelle bei den beiden Datensätzen, die nur elastische Phasen mit größeren Verformungen oder komplexerer linearer Verhärtungsplastizität umfassen, vielversprechend zu sein. Wir beobachten jedoch, dass die mittleren Fehler der Feldentwicklung (\(\sim\) 0,07–0,10) höher sind als die von separaten Vorhersagen (\(\sim\) 0,02–0,04), d. h. eines Modells, das auf eine bestimmte makroskopische Belastung trainiert wurde . Für den elastischen Fall werden nur 90 Mikrostrukturen (Trainings-Testdaten-Verhältnis 90:10) mit jeweils fünf Belastungsschritten als Trainingsdaten verwendet, was zu einem wirklich kleinen Datensatz führt und somit die maximale Genauigkeit begrenzt. Für das Kunststoffgehäuse kommen 450 Mikrostrukturen mit jeweils zehn Belastungsschritten zum Einsatz; Allerdings führt die zusätzliche Komplexität der linearen Verhärtungsplastizität (die die Matrix charakterisiert) zu einer pfadabhängigen Physik, die mehr Daten erfordert. Um den Kompromiss zwischen der Vorhersageleistung und den Trainingskosten zu verstehen, berichten wir in Abb. S12 über eine Sensitivitätsanalyse, die zeigt, dass nicht nur der durchschnittliche MAE, sondern auch die Streuung mit größeren Trainingsdatensätzen abnimmt. Aufgrund der großen Diagramme (Mesh-to-Graph-Mapping) könnten sich zukünftige Arbeiten daher auf Möglichkeiten zur Reduzierung dieser Diagrammgröße konzentrieren, um eine Möglichkeit zur Nutzung größerer Trainingsdatensätze zu bieten.

Abgeleitete makroskopische Materialreaktion aus der GNN-vorhergesagten Spannungsfeldentwicklung von unidirektionalen Faserverbundwerkstoffen. Spannungs-Dehnungs-Kurven, abgeleitet aus ML-vorhergesagten und FE-simulierten Feldern für \(f_v = 40,5\) % (A) und \(f_v = 5,8\) % (B). (C) Mittlere relative Fehlerverteilungen, die anhand des Testdatensatzes für die beiden makroskopischen Spannungskomponenten ungleich Null ausgewertet wurden. Die Buchstaben in (C) beziehen sich auf die relativen Fehler der einzelnen Spannungskomponenten ungleich Null der entsprechenden RVEs in (A) und (B). Die Dehnung auf der x-Achse in (A) und (B) ist die makroskopisch angelegte Dehnung (\({\overline{\varepsilon }}\)). Weitere Einzelheiten zur Ableitung von Spannungs-Dehnungs-Kurven finden Sie unter Methoden.

Obwohl Spannungs- und Dehnungsfelder in Materialsystemen mit variabler Grundmaterialzusammensetzung, die ein komplexes Verhalten aufweisen, durch pixelbasierte ML-Modelle unter Verwendung hochauflösender Bilder vernünftigerweise vorhergesagt werden könnten45,47,48, wäre die genaue Vorhersage auch komplexer deformierter Formen rechenintensiv. Um dieser Herausforderung mit unserem GNN-Modell zu begegnen, konzentrieren wir uns hier als Beispiel auf die Bildung von faltigen Grenzflächen (dh Instabilität) in weichen Schichtverbundwerkstoffen56. Der geschichtete Verbundwerkstoff (Abb. 4A) besteht aus dünnen harten Grenzflächenschichten der Dicke t, die periodisch im Abstand d angeordnet und in eine weiche Matrix eingebettet sind. Beide Phasen weisen eine lineare Elastizität auf, wobei der Elastizitätsmodul \(E_0\) bzw. \(E_1\) für die weiche und die harte Phase gilt. Unter der Annahme eines periodischen geometrischen Musters betrachten wir ein RVE der Größe d (Einschub in Abb. 4A), das einer einachsigen Kompression mit einfacher Dehnung und angelegter makroskopischer Dehnung \({\overline{\varepsilon }}\)= 9 \(\%\) ausgesetzt ist. unter PBCs (siehe Methoden). Wie bereits bekannt, wird die Schichtinstabilität durch das Abstand-zu-Dicke-Verhältnis d/t, das Young-Modul-Verhältnis \(E_1\)/\(E_0\) und das Matrix-Poisson-Verhältnis \(\nu _0\)56 bestimmt. Um zu überprüfen, ob unser Modell eine Beziehung zwischen den Grundmaterialeigenschaften \(m=(E,\nu )\) und den Verschiebungs- und Dehnungsfeldern \((u_i, \varepsilon _i)\) lernen kann, behalten wir den geometrischen Parameter g bei = d/t-Konstante (Vermeidung langwelliger Instabilität56), während \(E_1\)/\(E_0\) und \(\nu _0\) im Bereich von 50–1000 bzw. 0,01–0,49 variiert werden. Durch lineares Abtasten von 100 Werten für \(E_1\)/\(E_0\) und 5 Werten für \(\nu _0\) wird dann ein Datensatz von 500 Konfigurationen (d. h. Gesamtkombinationen) erstellt und in 90 \( \%\) der Trainingsdaten und 10 \(\%\) der Testdaten (Sensitivitätsanalyse mit Trainingsdatendichte in Abb. S12). Die Basismaterialinformationen werden auf natürliche Weise in die Knotenmerkmale codiert, wobei für jeden Knoten der zuvor verwendete Knotentyp \(\xi _i\) durch m ersetzt wird.

Die komprimierte Grenzschicht neigt dazu, sich beim Einsetzen der Knickinstabilität in ein Wellenmuster zu verformen, wie in Abb. 4B dargestellt. Für unterschiedliche Schicht- und Matrixeigenschaften zeigen sich verschiedene wellenförmige Verformungen und Dehnungsfeldamplituden (siehe Abb. S6). Hier besteht die größte Herausforderung darin, die komplexen Wellenmuster (d. h. Amplitude und Wellenlänge der verformten Form) und Spannungskonturen (d. h. räumliche Verteilung und lokale Amplitude) beim Knicken der Grenzflächenschicht für unterschiedliche Grundmaterialeigenschaften zu erfassen. Da das Phänomen immer komplexer wird und größere Verformungen auftreten, fällt es dem ML-Modell tatsächlich schwer, ähnlich niedrige MAE-Werte im Testdatensatz zu erzielen wie im vorherigen Beispiel (Faserverbundwerkstoffe). Dennoch zeigt sich eine ungleichmäßige Verteilung der MAE-Werte (sowohl für Trainings- als auch für Testdatensätze) (Abb. S7). Die meisten Vorhersagen weisen niedrige MAE auf, wie in Abb. 4C dargestellt, was den FE-simulierten Wellenmustern sowie den Dehnungsverteilungen sehr ähnlich ist. Der durchschnittliche MAE-Wert (im Testdatensatz) von \(\sim 0,22\) kann durch stark lokalisierte Fehlanpassungen in der Dehnungsfeldamplitude in einigen Regionen nahe der Grenzfläche (Fehlerkarte in Abb. 4C) und in der wellenförmige verformte Form für einige Testkonfigurationen (Abb. S7–S8). Insbesondere ist die MAE der Vorhersagen für den gesamten Datensatz fast unabhängig von \(\nu _0\) tendenziell kleiner für Mikrostrukturen mit höherem \(E_1\)/\(E_0\), entsprechend langwelligen, hoch- Amplitudenwellenmuster (Abb. S7). Diese Ergebnisse legen nahe, dass eher die Komplexität als die Größe der Verformung die Genauigkeit der Vorhersagen einschränkt. Obwohl das trainierte ML-Modell das falsche Wellenmuster (d. h. die Wellenlänge) für niedrige Steifigkeitsverhältnisse vorhersagt, lernt es tendenziell einen Zusammenhang zwischen der Krümmung der Grenzflächenschicht und der Spannungsverteilung (Abb. S8). Für jede Dehnungskomponente sind positive und negative Dehnungen der Konkavität des Wellenmusters zugeordnet (Abb. S8). Betrachtet man zum Beispiel die Komponenten \(\varepsilon _{11}\) und \(\varepsilon _{22}\) in Abb. S8, obwohl die vorhergesagte Wellenlänge nicht mit der tatsächlichen übereinstimmt, so sind die Zug- und Druckbereiche im Verbundwerkstoff vorhanden Matrix werden aufgrund der Schichtkonkavität qualitativ gut erfasst. Um unsere Vorhersagen besser bewerten zu können, vergleichen wir in Abb. 4D die FE-simulierten und ML-vorhergesagten faltigen Netzschnittstellen. Obwohl es Abweichungen der vorhergesagten Verformung von der glatten numerischen Lösung gibt (Einschub in Abb. 4D), überlappen sich die beiden Netze global, was darauf hindeutet, dass die Amplitude und Wellenlänge der postknickenden Form der Schicht vom ML-Modell genau vorhergesagt werden. Dieses Beispiel zeigt, dass GNNs, die eine Auflösungssteigerung in der Nähe von Regionen ermöglichen, in denen das lokale Phänomen voraussichtlich auftritt, lokalisierte komplexe Phänomene genau erfassen können, und zwar nur in einer rein datengesteuerten überwachten Umgebung. Für zukünftige Forschung argumentieren wir, dass die Glätte der ML-vorhergesagten Lösung durch die Einführung physikalischer Einschränkungen in das GNN-Modell erzwungen werden könnte, was die Genauigkeit und Generalisierbarkeit erhöht. Um zu untersuchen, ob ein bildbasiertes ML-Modell dieses Problem auf ähnliche Weise mit demselben Datensatz lösen kann, implementieren wir ein U-Net (kürzlich für heterogene Materialien mit variablen Grundmaterialeigenschaften eingeführt48) und berichten über die Ergebnisse in Abb. S9. Nach mehreren empirischen Tests, die durch Variation des Wahrnehmungsfelds (Erhöhung der Kernelgröße, des Dilatationsschritts und der Netzwerktiefe) durchgeführt wurden, tendiert das U-Net-Modell dazu, einheitliche Dehnungsfelder (auf den drei Komponenten) mit einem relativ niedrigen durchschnittlichen MAE von \ vorherzusagen. (\sim\) 0,07, jedoch ohne lokale Verformung zu erfassen. Diese Ergebnisse legen nahe, dass ein GNN-Framework nicht nur stark lokalisierte Phänomene für Verbundwerkstoffe mit variablen Grundmaterialeigenschaften vorhersagen kann, sondern auch den Bedarf an Trainingsdaten im Vergleich zu bildbasierten ML-Modellen reduziert.

Vorhersage der Faltenbildung an Grenzflächen in geschichteten Verbundwerkstoffen. (A) Schematische Darstellung eines geschichteten Verbundwerkstoffs, der aus dünnen harten Schichten besteht, die in eine weiche Matrix eingetaucht sind. Beide Phasen weisen eine lineare Elastizität auf. Der Einschub zeigt ein beliebiges RVE der Größe d, entsprechend dem Abstand zwischen den Schichten und der Schichtdicke t. Dabei werden anstelle der geometrischen Parameter die Materialeigenschaften (E,\(\nu\)) der beiden Phasen variiert. (B) Faltige Grenzfläche unter makroskopischer einachsiger Kompression (\({\overline{\varepsilon }}\)) zusammen mit der entsprechenden makroskopischen Spannungs-Dehnungs-Kurve. Das Symbol identifiziert das Postfaltenregime für \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\). Diese Konfiguration ist durch ein Young-Modul-Verhältnis \(E_1\) / \(E_0\)=741 und ein Matrix-Poisson-Verhältnis \(\nu _0\)=0,13 gekennzeichnet. (C) Vergleich der ML-vorhergesagten und FE-simulierten Dehnungsfelder in der in (B) gezeigten Grenzflächenschicht, zufällig ausgewählt aus dem Testdatensatz, für \({\overline{\varepsilon }}\)=9 \(\%\ ), mit den entsprechenden Fehlerkarten. Die Spannungsfelder werden über den entsprechenden deformierten Formen aufgetragen, während die Fehlerkarten in der unverformten Konfiguration angezeigt werden. Die Dehnungskomponente \(\varepsilon_{33}\) ist aufgrund der einfachen Dehnungshypothese insgesamt Null und wird daher hier nicht berichtet. (D) Vergleich des ML-vorhergesagten und des FE-simulierten deformierten Netzes der Konfiguration in (B) für \({\overline{\varepsilon }}=9 \%\).

Während Bilddarstellungen im Allgemeinen wirksam sind, um vollständig dichte Materialsysteme wie die zuvor analysierten darzustellen, ist dies nicht der Fall, wenn es um architektonische Metamaterialien mit geringem Volumenanteil geht, wie etwa Gitterstrukturen, in denen die feste Phase nur spärlich verteilt ist. Diese Strukturen eignen sich stattdessen natürlicher für die Darstellung von Diagrammen. Als Beispiel nutzen wir hier unser GNN-Modell, um das Verformungs- und Spannungsfeld in Gitterstrukturen endlicher Größe unter Druckbelastung vorherzusagen (Abb. 5A, B). Basierend auf einem Bottom-up-Generierungsverfahren aus unserer vorherigen Arbeit57 wird ein Datensatz von 762 Strukturen mit 2 \(\times\) 2 Tessellationen zufällig generierter Elementarzellen (Ergänzungsmaterialien) erstellt und wie zuvor in Trainings- und Testdatensätze aufgeteilt ( Sensitivitätsanalyse mit Trainingsdatendichte (siehe Abb. S12). Die Gitterstrukturen bestehen aus inkompressiblen hyperelastischen Balken mit einem anfänglichen Schubmodul \(\mu\) und einer gleichmäßigen Dicke t und haben einen konstanten Volumenanteil \({\overline{\rho }}\). Das ML-Modell wird separat auf zwei verschiedene Verformungsregime, d. h. kleine und große Verformungen, trainiert und zeichnet sich durch unterschiedliche Knoten- und Kantenmerkmale sowie unterschiedliche Ergebnisse aus. Für kleine Verformungen werden nur die Knotenkoordinaten des unverformten Netzes (10 Balkenelemente pro Balken) in die Knotenmerkmale kodiert, und analoge Kantenmerkmale wie zuvor werden hier übernommen; Die Ausgabe wird durch das Verschiebungsfeld \(u_i\) und die axiale Spannung \(\sigma _i= \sigma _i^a\) entlang der Balken dargestellt. Für große Verformungen, die lokales Knicken berücksichtigen, werden zusätzlich die kritischen Eigenmoduskoordinaten \(\tilde{x_i}\) in die Knotenmerkmale und die entsprechenden Knoten-zu-Knoten-Abstände (\(\tilde{x_{ ij}}\) und \(|\tilde{x_{ij}}|\)) werden in die Kantenmerkmale einbezogen; Nur das Verschiebungsfeld wird vom Modell ausgegeben. Weitere Einzelheiten finden Sie unter „Methoden“ und „Ergänzende Materialien“.

Um zu demonstrieren, dass unser ML-Modell das Druckverhalten ungleichmäßiger Gitterstrukturen für kleine und große Verformungen lernen kann, berichten wir in Abb. 5C, D über die FE-simulierte und ML-vorhergesagte Spannungsverteilung \(\sigma _i^a\) für kleine effektive Dehnung (\({\overline{\varepsilon }}=0,1 \%\)) und deformierte Formen nach dem Einsetzen der Knickinstabilität (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\)) für drei verschiedene Architekturen, die zufällig aus dem Testdatensatz ausgewählt wurden (siehe Abb. S10 für andere Gitter). Im elastischen Bereich wird das Spannungsfeld insgesamt von unserem Modell mit MAE-Werten \(\sim 0,29\) erfasst (Abb. 5C). Da die Gitterkonstruktionen den Großteil der Last über die in Belastungsrichtung ausgerichteten Träger abtragen, werden sie hauptsächlich in horizontaler Richtung (x-Richtung) beansprucht. Die Vorhersage dieses Verhaltens lässt daher darauf schließen, dass das ML-Modell die Mechanik der Struktur unter Druckbelastung effektiv lernt. Die Fehlerkarte in Abb. 5C bestätigt diese Ergebnisse, mit Ausnahme einiger lokalisierter Bereiche, die hauptsächlich durch die Gitterübergänge dargestellt werden, wo die Spannungskonzentrationen durch das ML-Modell tendenziell geglättet werden, um den Gesamtverlust zu reduzieren. Diese Einschränkung hat jedoch keinen Einfluss auf die Vorhersage des gesamten mechanischen Verhaltens der Struktur ohne Berücksichtigung lokaler Riss- und Schadensmechanismen, die über den Rahmen dieses Beispiels hinausgehen. Bei Erreichen der kritischen aufgebrachten Verschiebung knickt die Struktur lokal ein und lokalisiert die Verformung quer zur Belastungsrichtung (Abb. 5B). Die globale Verschiebung (also die Steifigkeit) der Struktur wird vom ML-Modell erfasst, wie in Abb. 5D dargestellt. Trotz der stark lokalisierten nichtlinearen Verformung, die im Testdatensatz den MAE-Werten \(\sim 0,39\) konvergiert, kann das ML-Modell auch die komplexe, nach der Knickung verformte Form mit zufriedenstellender Näherung vorhersagen (Abb. 5D). Die Diskrepanz zwischen den vorhergesagten und simulierten lokalen Verformungen der Balken zusammen mit der guten Näherung der globalen Strukturverschiebung lässt darauf schließen, dass das Modell beim Versuch, den Gesamtfehler zu minimieren, während des Trainings in einem lokalen Minimum stecken bleibt. Wir gehen davon aus, dass viel größere Trainingsdatensätze und physikalische Einschränkungen im Modell solche lokalen Nichtübereinstimmungen reduzieren könnten. Wir stellen auch fest, dass das Modell ohne die Verwendung der kritischen Eigenmodusinformationen als Eingabe dazu neigt, der nicht geknickten deformierten Konfiguration zu konvergieren, während die globale Verschiebung korrekt vorhergesagt wird (Abb. S11). Diese Beobachtung legt nahe, dass das GNN-Modell dazu neigt, tatsächliche physikalische Beziehungen zwischen den gegebenen Ein- und Ausgängen zu lernen (Abb. 1).

Vorhersage des Druckverhaltens von Gittermetamaterialien. (A) Repräsentative Gitterstruktur unter Druckbelastung. (B) Normalisierte effektive Spannungs-Dehnungs-Kurve der Struktur in (A) zusammen mit dem normalisierten FE-simulierten Spannungsfeld (d. h. Axialspannung, \(\sigma ^a\), auf den Balken des Gitters) für kleine (\({ \overline{\varepsilon }}=0,1 \%\)) und große (\({\overline{\varepsilon }}=3 \%\)) Verformungen. (C) Vergleich des ML-vorhergesagten und FE-simulierten Spannungsfeldes für kleine Verformungen (\({\overline{\varepsilon }}=0,1 \%\)) in drei zufällig ausgewählten Geometrien aus dem Testdatensatz, zusammen mit der entsprechenden Fehlerkarte . (D) ML vorhergesagte und FE simulierte verformte Formen nach der Knickung für \({\overline{\varepsilon }}\)=3 \(\%\). Das Grundmaterial weist eine inkompressible nichtlineare Elastizität (Hyperelastizität) mit einem anfänglichen Schermodul \(\mu =14,5 \,\hbox {MPa}\) auf.

Hier haben wir einen netzbasierten ML-Ansatz zur Vorhersage von Verformungs-, Spannungs- und Dehnungsfeldern in Material- und Struktursystemen vorgeschlagen, die komplexe physikalische Phänomene unter Verwendung von GNNs aufweisen. Die neuronalen Netze werden auf der Grundlage einiger hundert Simulationsdaten trainiert und können dennoch komplexe Phänomene wie die Faltenbildung von Grenzflächenschichten und die Knickinstabilität architektonischer Metamaterialien genau vorhersagen und weisen daher eine hohe Vielseitigkeit und breite Anwendbarkeit auf. Unser Modell nutzt die natürliche Mesh-to-Graph-Zuordnung und die Ausdruckskraft von GNNs und lernt die physikalischen Beziehungen zwischen Geometrie und Topologie, den Eigenschaften der konstituierenden Materialien, Randbedingungen und mechanischen Feldern in verschiedenen Klassen von Materialien und Strukturen, von Faserverbundwerkstoffen bis hin zu architektonischen Gitterstrukturen (Abb. 1). Mit dem ehrgeizigen Ziel, FE-Simulationen mechanischer Systeme zu ersetzen oder zu ergänzen, reduziert das vorgeschlagene Modell nach dem Training die Rechenzeit drastisch von Minuten, Stunden oder Tagen (typisch für FE-Löser) auf Bruchteile einer Sekunde (siehe Tabelle S3). Obwohl der Trainingsprozess den rechnerischen Engpass darstellt, können GNNs nach dem Training schnell mechanische Felder in der spezifischen Klasse von Materialien und Strukturen vorhersagen, in denen sie trainiert wurden, unabhängig von der Komplexität des Problems.

Dennoch bestehen Einschränkungen im Zusammenhang mit (1) der Graphenstruktur von GNNs und (2) dem hier verwendeten rein überwachten datengesteuerten Aufbau. In Bezug auf (1) sind GNNs während des Trainings speicherintensiv; Daher wird die Trainingsphase mit zunehmender Anzahl der Knoten im Netz immer teurer. Darüber hinaus besteht ein Kompromiss zwischen Netzverfeinerung und Fernfeldphänomenen: Je genauer lokale Felder durch Netzverfeinerung vorhergesagt werden, desto mehr Schritte zur Nachrichtenübermittlung (Rechenaufwand) sind erforderlich, um Fernfeldphänomene (d. h. Informationen) genau zu erfassen räumlich weit von der Netzverfeinerung entfernt). In Bezug auf (2) kann unser Modell zwar komplexe Phänomene mit einer kleinen Menge an Trainingsdaten (einige Hundert) vorhersagen, es mangelt ihm jedoch immer noch an Generalisierbarkeit (z. B. Vorhersage „ungesehener“ Randbedingungen) und die Genauigkeit ist immer noch nicht vollständig vergleichbar zu dem von hochpräzisen numerischen Lösern. Für zukünftige Forschung gehen wir davon aus, dass durch die Beschränkung der GNN-Lösung auf physikalische Gesetze die Genauigkeit22 erheblich verbessert werden kann, allerdings auf Kosten einer höheren Trainingszeit. Obwohl diese Kompromisse nicht zu vernachlässigen sind, stellt das vorgeschlagene graphbasierte ML-Framework einen ersten Schritt hin zu leistungsfähigeren Ersatzmodellen dar, die sich besonders für zelluläre Festkörper als architektonische Fachwerkmetamaterialien eignen. Um die Anwendbarkeit des Modells zu bewerten, berichten wir in Abb. S12 zusätzlich über eine Sensitivitätsanalyse der Modellleistung mit der Trainingsdatendichte. Für die drei Mechanikprobleme zeigen wir, dass die durchschnittliche Genauigkeit von Feldvorhersagen zwar nicht schnell ansteigt, die Streuung jedoch mit der Trainingsdichte erheblich abnimmt.

Als Proof of Concept haben wir außerdem gezeigt, dass unser Ansatz auf die Vorhersage mechanischer Felder in Materialsystemen unter mehreren Belastungsschritten (z. B. für verschiedene angelegte Belastungen) ausgeweitet werden kann. Die Kombination von GNNs mit wiederkehrenden neuronalen Netzen in einem dynamischen Diagrammrahmen55 zur Vorhersage physikalischer Felder für verschiedene angewendete externe Anregungen (z. B. makroskopische Dehnung in RVEs) könnte ein vielversprechendes Werkzeug für die umfassende Modellierung nichtlinearer und pfadabhängiger Phänomene in Materialien wie nichtlinearer Elastizität darstellen und Plastizität. Mit allen erforderlichen Informationen würden die variablen physikalischen Felder die makroskopische Materialreaktion (z. B. Spannungs-Dehnungs-Kurve) liefern, wie in Abb. 3 dargestellt, aus der Materialeigenschaften wie Festigkeit und Zähigkeit leicht extrahiert werden könnten. Darüber hinaus können gemischte Belastungsbedingungen aufgrund der Flexibilität der Diagrammdarstellung und der Ausdruckskraft von GNNs leicht über die Knoten- oder globalen Diagrammmerkmale55 (z. B. unterschiedliche Verschiebungskomponenten, die auf Grenzknoten angewendet werden) in das Modell codiert werden, und die Topologieoptimierung kann erfolgen in das vorgeschlagene Modell integriert werden, um Probleme im Zusammenhang mit der Glätte von Kurven und Oberflächen anzugehen. Diese Arbeit bietet nicht nur eine neuartige Methode zur Vorhersage komplexer physikalischer Phänomene mithilfe graphbasierter ML-Modelle, sondern eröffnet auch neue Wege für die Gestaltung fortschrittlicher Materialien wie mechanischer oder funktionaler Fachwerkmetamaterialien.

Die Datensätze werden durch FE-Modellierung unter Verwendung der kommerziellen Software Abaqus/Standard (Dassault Systemes Simulia Corp., 2017) generiert, wobei die Verschiebungs-, Spannungs- und Dehnungsfelder als Grundwahrheit für den Vergleich mit den ML-Ergebnissen berücksichtigt werden. Alle Simulationen werden in 2D unter statischer Belastung durchgeführt. Es wird ein automatisches Zeitschrittverfahren (d. h. Inkrementgröße in Abaqus) übernommen, mit Ausnahme von mehrstufigen Vorhersagen (d. h. Entwicklung physikalischer Felder), bei denen ein fester Zeitschritt von 0,01 festgelegt ist; Die statische Belastung ist insgesamt in 101 Stufen unterteilt. Die logarithmische Dehnung (LE in Abaqus) wird als Dehnungsmaß für die Simulationen mit großen Verformungen verwendet. Für die Faser- und Schichtverbundwerkstoffe werden einfache Dehnungselemente („CPE4R“ in Abaqus) mit einer globalen Maschenweite von 0,03 und ein lokal verfeinertes Netz mit 40 x 10 Elementen (x- und y-Richtung in Abb. 4A) an der Grenzfläche verwendet Schicht bzw. Timoshenko-Balkenelemente (B22 in Abaqus) werden zur Vernetzung der Gitterstrukturen verwendet, mit einer globalen Maschenweite von 10 Elementen pro physischem Balken. Um stabile Ergebnisse zu erhalten, wird eine Konvergenzanalyse für die drei Materialsysteme durchgeführt. Alle Berechnungen werden auf einem Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz, CPU-Kern durchgeführt.

Der erste Datensatz besteht aus 500 RVEs, die durch unterschiedliche Faservolumenanteile (d. h. Faserradius) gekennzeichnet sind und linear im Bereich von 0,05–0,5 abgetastet werden. Die Form des RVE ist ein Quadrat mit einer Größe, die willkürlich auf 1 mm festgelegt ist. Durch Anwenden einer makroskopischen einfachen Zugbelastung entlang der x-Richtung (Abb. 2A) von 6 \(\%\) auf jedes RVE, das PBCs ausgesetzt ist, ergibt sich die Knotenverschiebung, \(u_i=(u_i^1,u_i^2) \) und Spannung, \(\sigma _i= (\sigma _i^{11},\sigma _i^{22},\sigma _i^{33},\sigma _i^{12})\) Felder bei zwei Belastungsschritte (1 und 6 \(\%\) der Dehnung) werden im Datensatz als Grundwahrheit erfasst. Die Matrix wird als elastoplastischer (J2-perfekte Plastizität) Festkörper mit einem Elastizitätsmodul von 200 MPa, einem Poisson-Verhältnis von 0,3 und einer Streckgrenze von 10 MPa modelliert. Zur Darstellung der harten Phase wird stattdessen ein lineares elastisches Modell für die Faser übernommen, mit einem Elastizitätsmodul von 2000 MPa und einer Poissonzahl von 0,3. Für die mehrstufigen Vorhersagen werden zwei Datensätze generiert. Für die erste, die aus 100 RVEs besteht, werden (anstelle von PBCs) Verschiebungsrandbedingungen bis zu 8 \(\%\) der effektiven Dehnung (Verhältnis zwischen der angewendeten Verschiebung und der RVE'-Größe) auferlegt. Für beide Phasen wird ein linear-elastisches Modell mit denselben vorherigen Parametern übernommen. Bei der zweiten, bestehend aus 500 RVEs werden PBCs bis zu 8 % der makroskopisch angelegten Belastung auferlegt. Es werden die gleichen vorherigen Grundmaterialeigenschaften übernommen, mit Ausnahme der Matrix, die unter Verwendung einer linearen Verfestigungsplastizität mit einem Tangensmodul \(E_y = E \, \text {/} \, 3\) modelliert wird. Die in Abb. 3 dargestellten makroskopischen Dehnungs-Dehnungs-Kurven werden durch Mittelung des lokalen Spannungsfeldes für jeden angewendeten makroskopischen Dehnungswert abgeleitet. Weitere Einzelheiten zu PBCs finden Sie in den ergänzenden Materialien.

Der Datensatz umfasst 500 verschiedene Kombinationen von Grundmaterialeigenschaften. Die beiden Phasen haben eine lineare elastische Reaktion. Die weiche Phase (dh die Matrix) hat einen konstanten Elastizitätsmodul \(E_0=200 \,\text {MPa}\) und eine variable Poissonzahl \(\nu _0\) im Bereich von 0,01–0,49. Die harte Phase (d. h. die Grenzschicht) hat einen variablen Elastizitätsmodul \(E_1\) im Bereich \(10^4\)–\(2 \times 10^5\,\hbox {MPa}\) und einen konstanten Wert Poissonzahl \(\nu _1=0,3\). Durch lineares Abtasten von 100 Werten für \(E_1\) und 5 Werten für \(\nu _0\) werden 500 Kombinationen erhalten. Um die Datengenerierung einzuschränken, wird der geometrische Parameter \(g=d\)/t auf 50 gesetzt, wobei \(d=1 \,\text {mm}\) willkürlich angenommen wird. Wir simulieren das nichtlineare Postknickverhalten der Grenzflächenschicht (d. h. Faltenbildung), indem wir (1) eine Eigenwertanalyse durchführen, (2) den kritischen Eigenmodus auf das RVE als Imperfektion anwenden und (3) eine nichtlineare statische Analyse mit durchführen große Verformungen. Durch Anwenden einer makroskopischen Druckbelastung entlang der x-Richtung (Abb. 2A) von 9 \(\%\) auf jedes RVE, das PBCs ausgesetzt ist, ergibt sich die Knotenverschiebung, \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) , und Dehnung, \(\varepsilon _i= (\varepsilon _i^{11},\varepsilon _i^{22},\varepsilon _i^{33},\varepsilon _i^{12})\) werden in der gesammelt Datensatz als Grundwahrheit. Weitere Einzelheiten zu PBCs und Faltenbildung finden Sie in den ergänzenden Materialien.

Der Datensatz besteht aus 762 endlichen \(2 \times 2\)-Tessellationen zufällig generierter Elementarzellen (siehe ergänzende Materialien) mit konstanter relativer Dichte \({\overline{\rho }}=20 \%\). Die Gitterträger zeichnen sich durch einen rechteckigen Querschnitt mit einer Dicke in der Ebene \(t= 0,14 \,\hbox {mm}\) und einer Tiefe \(H=10 \,\hbox {mm}\) aus. Um die Randeffekte zu reduzieren, wird ein dickerer Rahmen um die Strukturen mit \(t= 0,30 \,\hbox {mm}\) in Betracht gezogen. Zur Modellierung der Gitterträger wird ein inkompressibles hyperelastisches Neo-Hookesches Materialmodell mit einem anfänglichen Schubmodul \(\mu =14,5 \,\text {MPa}\) verwendet. Eine einachsige Druckverschiebung (entlang der x-Richtung, Abb. 5A) wird auf den rechten Rand angewendet, während die linke Seite eingeschränkt wird. Um die Knickinstabilität zu berücksichtigen, simulieren wir das nichtlineare Verhalten der Strukturen nach dem Knicken, indem wir (1) eine Eigenwertanalyse durchführen, (2) den kritischen Eigenmodus auf die Struktur als Imperfektion anwenden und (3) eine nichtlineare statische Analyse mit durchführen große Verformungen und Materialnichtlinearitäten. Die Felder Knotenverschiebung \(u_i=(u_i^1,u_i^2)\) und Spannung \(\sigma _i= \sigma _i^a\) für zwei Verformungsregime, d. h. effektive Dehnung von 0,1 und 3 \( \%\) vor bzw. nach dem Knicken werden dann im Datensatz als Grundwahrheit erfasst. Weitere Einzelheiten zur Erzeugung von Elementarzellen finden Sie in den ergänzenden Materialien.

Das ML-Modell wird mit PyTorch Geometric58 im PyTorch-Framework59 implementiert. Das Modell besteht aus einem Encoder, einem Nachrichtenübermittlungsmodul und einem Decoder. Die Encoderfunktion codiert Knoten-, \(v_i\)- und Kanten-, \(e_{ij}\)-Features in einen größeren latenten Raum. Diese Aufgabe wird mithilfe der beiden neuronalen Netze \(\epsilon ^N\) und \(\epsilon ^E\) für die Knoten- bzw. Kantenmerkmale ausgeführt. Jedes Merkmal wird in das entsprechende Netzwerk eingegeben, das aus zwei Schichten mit der Breite d (nämlich der latenten Größe) besteht, denen jeweils eine nichtlineare ReLU-Aktivierungsfunktion zugeordnet ist, und schließlich folgt eine LayerNorm-Schicht, die eine elementweise Schichtnormalisierung60 unter Verwendung von Mittelwert und durchführt Standardabweichung über eine Minicharge. Der resultierende latente Graph wird dann vom Nachrichtenübermittlungsmodul verarbeitet. Für jeden Knoten werden die latenten Nachbarknoten- und Kantenmerkmale vom neuronalen Netzwerk \(M^E\) transformiert und durch Summierung aggregiert; Dies stellt die Nachricht dar, die in der Nachbarschaft eines Knotens weitergeleitet wird. Die Nachricht wird dann zusammen mit den vorherigen Knotenmerkmalen (nämlich dem Knotenstatus) vom neuronalen Netzwerk \(U^N\) aktualisiert, wodurch ein neuer Knotenstatus generiert wird. Vor der Aggregation stellt die Nachricht die neuen Kantenmerkmale dar. Die neuen Knotenzustände und Kantenmerkmale werden zu den entsprechenden vorherigen Zuständen summiert (dh Summe der Residuen). Dieser Vorgang wird L-mal wiederholt (dh Nachrichtenschritte). Die Netzwerke \(M^E\) und \(U^N\) haben die gleiche Architektur wie die Netzwerke im Encoder. Nach L Nachrichtenschritten werden im Decoder die latenten Knotenzustände vom neuronalen Netzwerk \(\delta ^N\) in Feldausgaben umgewandelt. Um den Ansatz allgemeiner zu gestalten, werden für mehrstufige Vorhersagen nach dem Nachrichtenübermittlungsmodul zwei GRUs (Gated Recurrent Units) eingefügt, die die latenten Knotenzustände als verborgene Zustände interpretieren (siehe ergänzende Materialien). Die Knoten- und Kantenmerkmale jedes Beispiels im Datensatz werden mithilfe der Funktion StandardScaler in der sklearn-Python-Bibliothek normalisiert. Analog wird die Grundwahrheit (dh die physischen Knotenfelder) mithilfe des Mittelwerts und der Standardabweichung normalisiert, die anhand einer internen Funktion aus den Trainingsdaten berechnet wurden. Die Ausgaben des ML-Modells werden dann zur Leistungsbewertung und Visualisierung denormalisiert. Zum Training unseres Modells verwenden wir den mittleren absoluten Fehler MAE als Verlustfunktion und den Adam-Optimierer, der die anfängliche Lernrate auf 0,01 mit exponentiellem Abfall um \(\gamma =0,9\) in jeder Epoche festlegt. Um die Überanpassung zu reduzieren, wird im Adam-Optimierer eine L2-Regularisierungstechnik mit einem Gewichtsabfall von \(5 \times 10^{-4}\) übernommen. Um den Speicherverbrauch zu reduzieren, wird während des Trainings außerdem eine Mini-Batch-Technik eingesetzt. Jeder Datensatz ist in 90 % Trainingsdaten und 10 % Testdaten aufgeteilt. In Tabelle S1 geben wir die spezifischen Werte der latenten Größe, der Nachrichtenschritte, der Stapelgröße und der Trainingsepochen für jeden Datensatz an. Der Übersichtlichkeit halber werden in Tabelle S2 zusätzlich die Knoten- und Kantenmerkmale sowie die Ausgabefelder für jeden Datensatz angegeben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird hier nicht auf eine Optimierung der Netzwerkarchitektur und eine Hyperparameter-Sensitivitätsanalyse verzichtet, da sie außerhalb des Ziels dieser Arbeit liegt. Das gesamte ML-Training und die Inferenz werden auf einer GPU NVIDIA Quadro P2000, 5 GB (dedizierter Speicher) durchgeführt; Ein Intel Xeon E3-1270, 3,60 GHz, CPU-Kern wird auch für Inferenz (Vorhersagen auf unsichtbaren Daten) verwendet, um einen fairen Vergleich mit FE-Simulationen zu ermöglichen. Weitere Einzelheiten finden Sie in den ergänzenden Materialien.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich. Der Code der ML-Modelle ist auf GitHub https://github.com/marcomau06/GNNs_fields_prediction verfügbar.

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Fakultät für Maschinenbau und Wirtschaftsingenieurwesen, Norwegische Universität für Wissenschaft und Technologie (NTNU), 7491, Trondheim, Norwegen

Marco Maurizi, Chao Gao und Filippo Berto

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MM konzipierte die Idee, entwickelte das Modell, führte die Simulationen durch und kuratierte Schulungen und Tests für maschinelles Lernen. MM und CG analysierten und interpretierten die Ergebnisse. MM hat das Manuskript geschrieben. MM, CG und FB haben das Manuskript überarbeitet. CG und FB überwachten die Arbeiten.

Korrespondenz mit Marco Maurizi.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Maurizi, M., Gao, C. & Berto, F. Vorhersage von Spannungs-, Dehnungs- und Verformungsfeldern in Materialien und Strukturen mit graphischen neuronalen Netzen. Sci Rep 12, 21834 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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Eingegangen: 23. August 2022

Angenommen: 14. Dezember 2022

Veröffentlicht: 17. Dezember 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-26424-3

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